Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели. Математические модели и их классификация Группы математических моделей

В предложенной вашему вниманию статье мы предлагаем примеры математических моделей. Кроме этого, мы обратим внимание на этапы создания моделей и разберем некоторые задачи, связанные с математическим моделированием.

Еще один наш вопрос - это математические модели в экономике, примеры, определение которых мы рассмотрим немного позже. Начать наш разговор мы предлагаем с самого понятия «модель», кратко рассмотрим их классификацию и перейдем к основным нашим вопросам.

Понятие «модель»

Мы часто слышим слово «модель». Что же это такое? Данный термин имеет множество определений, вот только три из них:

специфический объект, который создается для получения и хранения информации, отражающий некоторые свойства или характеристики и так далее оригинала данного объекта (этот специфический объект может выражаться в разной форме: мысленный, описание при помощи знаков и так далее);
еще под моделью подразумевается отображение какой-либо конкретной ситуации, жизненной или управленческой;
моделью может служить уменьшенная копия какого-либо объекта (они создаются для более подробного изучения и анализа, так как модель отражает структуру и взаимосвязи).

Исходя из всего, что было сказано ранее, можно сделать небольшой вывод: модель позволяет подробно изучить сложную систему или объект.

Все модели можно классифицировать по ряду признаков:

по области использования (учебные, опытные, научно-технические, игровые, имитационные);
по динамике (статические и динамические);
по отрасли знаний (физические, химические, географические, исторические, социологические, экономические, математические);
по способу представления (материальные и информационные).

Информационные модели, в свою очередь, делятся на знаковые и вербальные. А знаковые - на компьютерные и некомпьютерные. Теперь перейдем к подробному рассмотрению примеров математической модели.

Математическая модель

Как не трудно догадаться, математическая модель отражает какие-либо черты объекта или явления при помощи специальных математических символов. Математика и нужна для того, чтобы моделировать закономерности окружающего мира на своем специфическом языке.

Метод математического моделирования зародился достаточно давно, тысячи лет назад, вместе с появлением данной науки. Однако толчок для развития данного способа моделирования дало появление ЭВМ (электронно-вычислительных машин).

Теперь перейдем к классификации. Ее так же можно провести по некоторым признакам. Они представлены в таблице ниже.

Мы предлагаем остановиться и подробнее рассмотреть последнюю классификацию, так как она отражает общие закономерности моделирования и цели создаваемых моделей.

Дескриптивные модели

В данной главе мы предлагаем остановиться подробнее на дескриптивных математических моделях. Для того чтобы было все предельно понятно, будет приведен пример.

Начнем с того, что этот вид можно назвать описательным. Это связано с тем, что мы просто делаем расчеты и прогнозы, но никак не можем повлиять на исход события.

Ярким примером описательной математической модели является вычисление траектории полета, скорости, расстояния от Земли кометы, которая вторглась в просторы нашей Солнечной системы. Эта модель является описательной, так как все полученные результаты могут только предупредить нас о какой-либо опасности. Повлиять на исход события, увы, мы не можем. Однако, основываясь на полученных расчетах, можно предпринять какие-либо меры для сохранения жизни на Земле.

Оптимизационные модели

Сейчас мы немного поговорим об экономико-математических моделях, примерами которых могут служить разные сложившиеся ситуации. В данном случае речь идет о моделях, которые помогают найти верный ответ в определенных условиях. Они обязательно имеют некие параметры. Чтобы стало предельно понятно, рассмотрим пример из аграрной части.

У нас есть зернохранилище, но зерно очень быстро портится. В этом случае нам необходимо правильно подобрать температурный режим и оптимизировать процесс хранения.

Таким образом, мы можем дать определение понятию «оптимизационная модель». В математическом смысле это система уравнений (как линейных, так и нет), решение которой помогает найти оптимальное решение в конкретной экономической ситуации. Пример математической модели (оптимизационной) мы рассмотрели, но хочется еще добавить: данный вид относится к классу экстремальных задач, они помогают описать функционирование экономической системы.

Отметим еще один нюанс: модели могут носить разный характер (см. таблицу ниже).

Многокритериальные модели

Сейчас предлагаем вам поговорить немного о математической модели многокритериальной оптимизации. До этого мы привели пример математической модели оптимизации процесса по какому-либо одному критерию, но что делать, если их много?

Ярким примером многокритериальной задачи служит организация правильного, полезного и одновременно экономного питания больших групп людей. С такими задачами часто встречаются в армии, школьных столовых, летних лагерях, больницах и так далее.

Какие критерии нам даны в данной задаче?

Питание должно быть полезным.
Расходы на пищу должны быть минимальными.

Как видите, эти цели совсем не совпадают. Значит, при решении задачи необходимо искать оптимальное решение, баланс между двумя критериями.

Игровые модели

Говоря об игровых моделях, необходимо понимать понятие «теория игр». Если говорить просто, то данные модели отражают математические модели настоящих конфликтов. Только стоит понимать, что, в отличие от реального конфликта, игровая математическая модель имеет свои определенные правила.

Сейчас будет приведен минимум информации из теории игр, которая поможет вам понять, что такое игровая модель. И так, в модели обязательно присутствуют стороны (две или более), которых принято называть игроками.

Все модели имеют некие характеристики.

Игровая модель может быть парной или множественной. Если у нас есть два субъекта, то конфликт парный, если больше - множественный. Также можно выделить антагонистическую игру, ее еще называют игрой с нулевой суммой. Это модель, в которой выигрыш одного из участников равняется проигрышу другого.

Имитационные модели

В данном разделе мы обратим внимание на имитационные математические модели. Примерами задач могут служить:

модель динамики численности микроорганизмов;
модель движения молекул, и так далее.

В данном случае мы говорим о моделях, которые максимально приближены к реальным процессам. По большому счету, они имитируют какое-либо проявление в природе. В первом случае, например, мы можем моделировать динамику численности муравьев в одной колонии. При этом можно наблюдать за судьбой каждой отдельной особи. В данном случае математическое описание используют редко, чаще присутствуют письменные условия:

через пять дней женская особь откладывает яйца;
через двадцать дней муравей погибает, и так далее.

Таким образом, используются для описания большой системы. Математическое заключение - это обработка полученных статистических данных.

Требования

Очень важно знать, что к данному виду модели предъявляют некоторые требования, среди которых - приведенные в таблице ниже.

Универсальность	Это свойство позволяет использовать одну и ту же модель при описании однотипных групп объектов. Важно отметить, что универсальные математические модели совершенно не зависят от физической природы исследуемого объекта
Адекватность	Здесь важно понимать, что данное свойство позволяет максимально правильно воспроизводить реальные процессы. В задачах эксплуатации очень важно данное свойство математического моделирования. Примером модели может служить процесс оптимизации использования газовой системы. В данном случае сопоставляются расчетные и фактические показатели, в результате проверяется правильность составленной модели
Точность	Данное требование подразумевает совпадение значений, которые мы получаем при расчете математической модели и входных параметров нашего реального объекта
Экономичность	Требование экономичности, предъявляемое к любой математической модели, характеризуется затратами на реализацию. Если работа с моделью осуществляется ручным способом, то необходимо рассчитать, сколько времени уйдет на решение одной задачи при помощи данной математической модели. Если речь идет об автоматизированном проектировании, то рассчитываются показатели затрат времени и памяти компьютера

Этапы моделирования

Всего в математическом моделировании принято выделять четыре этапа.

Формулировка законов, связывающих части модели.
Исследование математических задач.
Выяснение совпадений практических и теоретических результатов.
Анализ и модернизация модели.

Экономико-математическая модель

В этом разделе кратко осветим вопрос Примерами задач могут служить:

формирование производственной программы выпуска мясной продукции, обеспечивающей максимальную прибыль производства;
максимизация прибыли организации путем расчета оптимального количества выпуска столов и стульев на мебельной фабрике, и так далее.

Экономико-математическая модель отображает экономическую абстракцию, которая выражена при помощи математических терминов и знаков.

Компьютерная математическая модель

Примерами компьютерной математической модели являются:

задачи гидравлики при помощи блок-схем, диаграмм, таблиц, и так далее;
задачи на механику твердого тела, и так далее.

Компьютерная модель - это образ объекта или системы, представленный в виде:

таблицы;
блок-схемы;
диаграммы;
графика, и так далее.

При этом данная модель отражает структуру и взаимосвязи системы.

Построение экономико-математической модели

Мы уже ранее сказали о том, что такое экономико-математическая модель. Пример решения задачи будет рассмотрен прямо сейчас. Нам необходимо произвести анализ производственной программы для выявления резерва повышения прибыли при сдвиге в ассортименте.

Полностью рассматривать задачу мы не будем, а только построим экономико-математическую модель. Критерий нашей задачи - максимизация прибыли. Тогда функция имеет вид: Л=р1*х1+р2*х2…, стремящееся к максимуму. В данной модели р - это прибыль за единицу, х - это количество производимых единиц. Далее, основываясь на построенной модели, необходимо произвести расчеты и подвести итог.

Пример построения простой математической модели

Задача. Рыбак вернулся со следующим уловом:

8 рыб - обитатели северных морей;
20% улова - обитатели южных морей;
из местной реки не обнаружилось ни одной рыбы.

Сколько рыб он купил в магазине?

Итак, пример построения математической модели данной задачи выглядит следующим образом. Обозначаем общее количество рыб за х. Следуя условию, 0,2х - это количество рыб, обитающих в южных широтах. Теперь объединяем всю имеющуюся информацию и получаем математическую модель задачи: х=0,2х+8. Решаем уравнение и получаем ответ на главный вопрос: 10 рыб он купил в магазине.

Математические модели, составляют абстрактную часть спектра (рис. 7.2), в целях удобства их использования в различных отраслях, в том числе и в логистике, классифицируют по шести наиболее представительными признакам:

Способа получения модели;

Способа описания или представление объекта или его свойств;

Способа формализации объекта или его свойств;

Принадлежности к иерархического уровня;

Степени масштабности описания объекта или его свойств;

Степени сложности описания объекта или его свойств.

По способу получения модели делятся на теоретические , нейронные (персептроны) и эмпирические .

Теоретические модели выводятся математически на основе знания первичных законов классической механики, электродинамики, химии и т.д. Модели, полученные из реальной жизни на основе статистической обработки результатов наблюдений, формируют группу эмпирических. Проблема построения эмпирической модели включает и выбор формы этой модели, подходящей, а также разумной степени ее сложности, совместим с имеющимися экспериментальными данными.

За последние годы в области моделирования экономических процессов все большее значение приобретают нейронные модели (персептроны). Нейронная модель (персептрон) состоит из бинарных нейроподобных элементов и имеет простую топологию.

Самый персептрон включает в себя матрицы бинарных входов (сенсорных нейронов или сетчатки, куда подаются входные образы), набора бинарных нейроподобних элементов с фиксированными связями к подмножеств сетчатки, бинарного Нейроподобная элемента с модифицированными связями в этих предикатов (элементов, решают) .

Предварительно персептрон использовался для решения задачи автоматической классификации, в общем состоит в разделении пространства признаков между заданным количеством классов. В сегодняшних условиях на уровне нейронных сетей можно решить проблему логистического прогнозирования, которая формализуется через задачу распознавания образов.

Рассмотрим следующий пример. Есть данные по текущему спросу на продукцию фирмы за шесть лет (Ас = 6): 71, 80, 101, 84, 60, 73.

Для формализации задачи используем метод окон. Зададим размеры окон η = 3, т = 1 и уровень возбуждения Нейроподобная элемента s = 1. Далее, с помощью метода окон с уже фиксированными параметрами n, т, s для нейронной сети генерируется следующая обучающая выборка:

Как видим, каждый последующий вектор образуется в результате сдвига окон W и и W 0 вправо на один элемент (s = 1). При этом предполагается наличие скрытых зависимостей во временной последовательности как множестве наблюдений.

Нейронная сеть, обучаясь на этих наблюдениях и соответственно настраивая свои коэффициенты, пытается извлечь эти закономерности и сформировать в результате ожидаемую функцию прогноза, то есть "построить" модель . Прогнозирование осуществляется по тому же принципу, что и формирование обучающей выборки.

По способу описания объекта модели делятся следующим образом:

1) алгебраические;

2) регрессионно-корреляционные;

3) вероятностно-статистические, объединяющих в себе модели теории очередей, модели запасов и статистические модели;

4) математического программирования - линейного программирования, сетевые (поточные).

Относительно первой группы моделей - алгебраических , необходимо сразу оговориться, что они по сути своей для логиста носят вспомогательный характер для принятия правильного решения. Алгебраические модели используются обычно при решении таких задач, как анализ "критической точки" и анализ "затраты - прибыль".

Регрессионно-корреляционные модели , представляющие вторую группу, является обобщением экстраполяционных и статистических моделей и используются для описания специфики объекта или его свойств.

Третью группу составляют вероятностно-статистические модели , основанные на фенологических явлениях и гипотезах. Данные модели могут быть детерминированными или стохастическими. Так, например, зависимость В = φ (Χ), которая установлена по результатам наблюдений случайных величин X и В методом наименьших квадратов, представляет собой детерминированную модель. Если же учесть наблюдаемые в результате опытов случайные отклонения экспериментальных точек от кривой У = φ (Х) и записать зависимость В от X в виде В = φ (Χ) + Ζ (где Ζ - некоторая случайная величина), то получим стохастической модели в ее идеальном выражении.

При этом величины X и В могут быть как скалярными, так и векторными. Функция φ (Χ) может быть как линейной комбинацией этих функций, так и данной нелинейной функцией, параметры которой определяются методом наименьших квадратов.

Модели линейного программирования все шире используются для решения задач логистической направленности.

Кто знаком с математическим программированием, тот знает, что ее решить в общем виде практически невозможно. Однако наиболее разработанными в математическом программировании есть задачи линейного программирования.

В задачах линейного программирования целевая функция линейная, а условия-ограничения включают линейные равенства и линейные неравенства; переменные могут быть подчинены или не подчинены требованию непреложности.

Для демонстрации простоты решений логистических задач с помощью линейного программирования обратимся к двум известным задач:

Первая - о бабку, что собирается на рынок, чтобы продать живность, которая выросла у нее во дворе за год;

Вторая - о питании.

Задача первая (о бабку)

Суть данной задачи сводится к получению ответа на простой вопрос: "Сколько надо взять бабки для продажи на рынке живых гусей, уток и кур, чтобы она получила наибольшую выручку при условии, что она может доставить на рынок живности массой не более Р кг?". При этом известны:

Масса курицы (т,), утки (т 2 ) и гуся (т3)

Стоимость курицы (с7), утки (с2) и гуся (с3).

Рассмотрим алгоритм решения задачи.

1. Для решения задачи обозначим количество, соответственно, кур - х 1 уток - х 2, гусей - х 3, взятых бабкой для продажи на рынок.

2. Составим целевую функцию этой задачи:

3. Опишем ограничения на решение задачи.

Масса товара, бабка может доставить одновременно на рынок, не должна превысить Р килограмм:

Значение , и должны быть положительными целыми числами (), то есть:

Выполнив три описанных шаги, получаем задачу линейного программирования. Подставляя исходные значения х, т, с и Р, находим ответ на поставленный вопрос.

Задача вторая (о питании)

Кафе "Бистро" ежедневно в магазине закупает продукты питания для приготовления определенных блюд для своих посетителей. В рацион входят три различных питательных вещества (b ) и нужно их, соответственно, не менее b 1, b 2, b 3 единиц. В магазине продается пять видов различных продуктов х 1 - х 5 по цене, соответственно, С-И - с 5.

Каждая единица продукта i-го вида (х i) содержит а иj единиц j-й питательного вещества, то есть, например, а 2 с показывает, что в единицы второго продукта третьей питательного вещества будет а 23 единиц.

Поскольку кафе работает в окружении конкурентов, необходимо правильно определить количество продуктов каждого вида х 1 - x 5, которые стоит закупить. При этом надо выполнить следующие условия:

1) чтобы стоимость продуктов была минимальной;

2) чтобы в рационе блюд в нужном количестве содержались все необходимые питательные вещества.

Математическая постановка решения задачи будет следующая:

1. Целевая функция данной задачи - минимизировать стоимость продуктов х 1 - х 5. Математически это будет выглядеть следующим образом:

2. Условия ограничения решения задачи:

а) количество первой питательного вещества должна быть не менее b 1 ,:

б) количество второй питательного вещества должна быть не менее b 2 :

в) количество третьей питательного вещества должна быть не менее b 3:

При этом следует иметь в виду, что количество продуктов не может иметь отрицательное число, то есть:

Для правильного понимания решения приведенной задачи рассмотрим следующий пример.

Пусть в данной задачи будем иметь следующие исходные данные:

Целевая функция будет иметь следующий вид:

Определять минимальное значение функции надо при условии выполнения следующих ограничений:

Имея в виду, что количество продуктов не может быть отрицательным числом, принимаем, что

В результате решения задачи по представленным исходным данным имеем следующий ответ: и . При данных значениях целевая функция будет иметь следующее значение:

Сетевые (поточные) модели.

Важным классом задач математического программирования являются так называемые сетевые (поточные) задачи, в терминах которых могут быть сформулированы задачи линейного программирования.

Рассмотрим в качестве примера так называемую транспортную задачу (рис. 7.3), что является одной из первых потоковых задач, которая была решена в 1941 г.. Ф.Л. Хитчкок.

Пусть есть два завода (1 и 2) и три состава (А, Б, В). Заводы производят, соответственно, s1 и s2 единиц продукции. Склады имеют возможность принять на хранение d1, d2 и d3 единиц продукции, то есть:

Задача состоит в том, чтобы минимизировать затраты на перевозку продукции от заводов-производителей на склады. Зададим следующие исходные условия. Предположим, ЧТО Х ij - объем продукции, который необходимо перевезти из i-го завода на j-й состав; с - - стоимость перевозки единицы продукции с i-го завода на j-й состав. Тогда целевая функция задачи - стоимость перевозки, будет иметь следующий вид:

Рис. 7.3.

Условие того, что вся продукция будет транспортироваться с каждого завода:

Данные равенства можно записать в краткой форме, а именно:

Условие заполнения складов имеет следующий вид: причем

Данная модель может быть описана с помощью сети, если предположить, что узлами сети есть заводы и склады, а дугами - дороги для перевозки груза (рис. 7.3). Сформулирована транспортная задача является частным случаем задачи поиска потока минимальной стоимости в пределах сети.

Сетевые задачи применяют при проектировании и усовершенствованные больших и сложных систем, а также при условии поиска путей их наиболее рационального использования. В первую очередь, это связано с тем, что с помощью сетей можно достаточно просто построить модель системы. Последнее базируется на идее критического пути (метод СРМ) и оценке и средствах наблюдения (например, система PERT- Program Evalution Research Task).

Кроме того, сети позволяют осуществить :

Формализацию модели сложной системы как совокупности простых систем (в этом случае логистической системы как совокупности ее подсистем и звеньев - закупки, складов, транспортировки, запасов, производства, распределения и сбыта);

Составление формальных процедур для определения качественных характеристик системы;

Определение механизма взаимодействия компонентов управляющей системы с целью описания последней в терминах ее основных характеристик;

Определение данных, необходимых для исследования логистической системы и ее основных подсистем;

Начальное исследование управляющей системы, составление предварительного расписания работы ее компонентов.

Основное преимущество сетевого подхода заключается в том, что он может быть успешно применен к решению практически любых задач, когда можно точно построить сетевую модель.

Обобщенная характеристика математических моделей, классифицируемых по способу описания объекта, приведена в табл. 7.3. В таблице указаны наиболее подходящие области применения данных моделей с предварительно обозначенной точностью получаемых оценок. Данная информация полезна логистам на этапе построения моделей или выбора последних для решения возникшей проблемы.

По характеру отображаемых свойств объекта модели классифицируются на структурные и функциональные, которые в совокупности отражают взаимосвязь и взаимное влияние отдельных элементов на процессы, протекающие в объекте при его функционировании или изготовлении.

Структурные модели предназначены для отображения структурных свойств объекта состава, взаимосвязи и взаимного расположения, а также формы компонентов.

Функциональные модели предназначены в большей степени для отображения процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении, и, как правило, содержат алгоритмы, связывающие фазовые переменные, внутренние, внешние или выходные параметры.

Таблица 7.3

Характерные черты математических моделей

вид модели	Наиболее пригодна область использования модели	Относительная точность расчета,%
алгебраические	Общие операционные проблемы: анализ процесса затраты - прибыль и т.п.
Модель линейного программирования	Планирование производства, распределение рабочей силы, анализ размещения, смешивания ингредиентов в продуктах питания и др.
Сетевые (поточные)	Предварительно: исследовательские и конструкторские работы, разработка производственных проектов
Вероятностно-статистические:
Модели теории очередей	Оценка систем сервиса
Модели запасов	Управление активами фирмы, предприятия
Статистические	В различных сферах с достаточной долей неопределенности
Регрессионно-корреляционные	В сферах управления, производства, анализ спроса и др. \|

По способу формализации объекта при сложности имеющихся ситуаций возникает необходимость в упрощенном их описании с помощью аналитических и алгоритмических моделей, должным образом

"Абстрагируют" избранные "существенные" свойства объектов и ситуаций. Компьютерная имитация реальных объектов - это ценный инструмент для анализа сложных систем сервиса, политики обслуживания и инвестиционного выбора.

Распределение объектов на иерархические уровни приводит к определенным уровней моделирования, иерархия которых определяется как сложностью объектов, так и возможностью средств управления. Поэтому, согласно принадлежности к иерархического уровня, математические модели делятся на микро-, макро- и метамодели. Отличие данных моделей заключается в том, что на более высоком уровне иерархии компоненты модели принимают вид довольно сложных совокупностей элементов предыдущего уровня. Этими же качествами определяется и разделение моделей по степени масштабности и сложности описания объекта.

Приведенная классификация моделей призвана помочь логистам в более оперативном и правильном принятии решений в целях осуществления миссии организации.

Понятие модели и моделирования.

Модель в широком смысле - это любой образ, аналог мысленный или установленный изображение, описание, схема, чертеж, карта и т. п. какого либо объема, процесса или явления, используемый в качестве его заменителя или представителя. Сам объект, процесс или явление называется оригиналом данной модели.

Моделирование - это исследование какого либо объекта или системы объектов путем построения и изучения их моделей. Это использование моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов.

На идее моделирования базируется любой метод научного исследования, при этом, в теоретических методах используются различного рода знаковые, абстрактные модели, в экспериментальных - предметные модели.

При исследовании сложное реальное явление заменяется некоторой упрощенной копией или схемой, иногда такая копия служит лишь только для того чтобы запомнить и при следующей встрече узнать нужное явление. Иногда построенная схема отражает какие - то существенные черты, позволяет разобраться в механизме явления, дает возможность предсказать его изменение. Одному и тому же явлению могут соответствовать разные модели.

Задача исследователя - предсказывать характер явления и ход процесса.

Иногда, бывает, что объект доступен, но эксперименты с ним дорогостоящи или привести к серьезным экологическим последствиям. Знания о таких процессах получают с помощью моделей.

Важный момент - сам характер науки предполагает изучение не одного конкретного явления, а широкого класса родственных явлений. Предполагает необходимость формулировки каких - то общих категорических утверждений, которые называются законами. Естественно, что при такой формулировке многими подробностями пренебрегают. Чтобы более четко выявить закономерность сознательно идут на огрубление, идеализацию, схематичность, то есть изучают не само явление, а более или менее точную ее копию или модель. Все законы- это законы о моделях, а поэтому нет ничего удивительного в том, что с течением времени некоторые научные теории признаются непригодными. Это не приводит к краху науки, поскольку одна модель заменилась другой более современной .

Особую роль в науке играют математические модели, строительный материал и инструменты этих моделей - математические понятия. Они накапливались и совершенствовались в течении тысячелетий. Современная математика дает исключительно мощные и универсальные средства исследования. Практически каждое понятие в математике, каждый математический объект, начиная от понятия числа, является математической моделью. При построении математической модели, изучаемого объекта или явления выделяют те его особенности, черты и детали, которые с одной стороны содержат более или менее полную информацию об объекте, а с другой допускают математическую формализацию. Математическая формализация означает, что особенностям и деталям объекта можно поставить в соответствие подходящие адекватные математические понятия: числа, функции, матрицы и так далее. Тогда связи и отношения, обнаруженные и предполагаемые в изучаемом объекте между отдельными его деталями и составными частями можно записать с помощью математических отношений: равенств, неравенств, уравнений. В результате получается математическое описание изучаемого процесса или явление, то есть его математическая модель.

Изучение математической модели всегда связанно с некоторыми правилами действия над изучаемыми объектами. Эти правила отражают связи между причинами и следствиями.

Построение математической модели - это центральный этап исследования или проектирования любой системы. От качества модели зависит весь последующий анализ объекта. Построение модели - это процедура не формальная. Сильно зависит от исследователя, его опыта и вкуса, всегда опирается на определенный опытный материал. Модель должна быть достаточно точной, адекватной и должна быть удобна для использования.

Математическое моделирование.

Классификация математических моделей.

Математические модели могут быть детерменированными и стохастическими .

Детерменированные модели- это модели, в которых установлено взаимно-однозначное соответствие между переменными описывающими объект или явления.

Такой подход основан на знании механизма функционирования объектов. Часто моделируемый объект сложен и расшифровка его механизма может оказаться очень трудоемкой и длинной во времени. В этом случае поступают следующим образом: на оригинале проводят эксперименты, обрабатывают полученные результаты и, не вникая в механизм и теорию моделируемого объекта с помощью методов математической статистики и теории вероятности, устанавливают связи между переменными, описывающими объект. В этом случае получают стахостическую модель. В стахостической модели связь между переменными носит случайный характер, иногда это бывает принципиально. Воздействие огромного количества факторов, их сочетание приводит к случайному набору переменных описывающих объект или явление. По характеру режимов модель бывают статистическими и динамическими .

Статистическая модель включает описание связей между основными переменными моделируемого объекта в установившемся режиме без учета изменения параметров во времени.

В динамической модели описываются связи между основными переменными моделируемого объекта при переходе от одного режима к другому.

Модели бывают дискретными и непрерывными , а также смешанного типа. В непрерывных переменные принимают значения из некоторого промежутка, в дискретных переменные принимают изолированные значения.

Линейные модели - все функции и отношения, описывающие модель линейно зависят от переменных и не линейные в противном случае.

Математическое моделирование.

Требования,п редъявляемые к моделям.

1. Универсальность - характеризует полноту отображения моделью изучаемых свойств реального объекта.

Адекватность - способность отражать нужные свойства объекта с погрешностью не выше заданной.
Точность - оценивается степенью совпадения значений характеристик реального объекта и значения этих характеристик полученных с помощью моделей.
Экономичность - определяется затратами ресурсов ЭВМ памяти и времени на ее реализацию и эксплуатацию.

Математическое моделирование.

Основные этапы моделирования.

1. Постановка задачи.

Определение цели анализа и пути ее достижения и выработки общего подхода к исследуемой проблеме. На этом этапе требуется глубокое понимание существа поставленной задачи. Иногда, правильно поставить задачу не менее сложно чем ее решить. Постановка - процесс не формальный, общих правил нет.

2. Изучение теоретических основ и сбор информации об объекте оригинала.

На этом этапе подбирается или разрабатывается подходящая теория. Если ее нет, устанавливаются причинно - следственные связи между переменными описывающими объект. Определяются входные и выходные данные, принимаются упрощающие предположения.

3. Формализация.

Заключается в выборе системы условных обозначений и с их помощью записывать отношения между составляющими объекта в виде математических выражений. Устанавливается класс задач, к которым может быть отнесена полученная математическая модель объекта. Значения некоторых параметров на этом этапе еще могут быть не конкретизированы.

4. Выбор метода решения.

На этом этапе устанавливаются окончательные параметры моделей с учетом условия функционирования объекта. Для полученной математической задачи выбирается какой - либо метод решения или разрабатывается специальный метод. При выборе метода учитываются знания пользователя, его предпочтения, а также предпочтения разработчика.

5. Реализация модели.

Разработав алгоритм, пишется программа, которая отлаживается, тестируется и получается решение нужной задачи.

6. Анализ полученной информации.

Сопоставляется полученное и предполагаемое решение, проводится контроль погрешности моделирования.

7. Проверка адекватности реальному объекту.

Результаты, полученные по модели сопоставляются либо с имеющейся об объекте информацией или проводится эксперимент и его результаты сопоставляются с расчётными.

Процесс моделирования является итеративным. В случае неудовлетворительных результатов этапов 6. или 7. осуществляется возврат к одному из ранних этапов, который мог привести к разработке неудачной модели. Этот этап и все последующие уточняются и такое уточнение модели происходит до тех пор, пока не будут получены приемлемые результаты.

Математическая модель - это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования - исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование - это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

1.1.2 2. Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели . На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект - явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель . На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

1.1.3 3. Классификация моделей

Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие - как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф - это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ВСЕОБЩАЯ КОМПЬЮТЕРИЗАЦИЯ ИЛИ ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ

Сейчас, когда в стране происходит чуть ли не всеобщая компьютеризация, от специалистов различных профессий приходится слышать высказывания: "Вот внедрим у себя ЭВМ, тогда все задачи сразу же будут решены". Эта точка зрения совершенно не верна, сами по себе ЭВМ без математических моделей тех или иных процессов ничего сделать не смогут и о всеобщей компьютеризации можно лишь мечтать.

В подтверждение вышесказанного попытаемся обосновать необходимость моделирования, в том числе математического, раскроем его преимущества в познании и преобразовании человеком внешнего мира, выявим существующие недостатки и пойдем… к имитационному моделированию, т.е. моделированию с использованием ЭВМ. Но все по порядку.

Прежде всего, ответим на вопрос: что такое модель?

Модель – это материальный или мысленно представленный объект, который в процессе познания (изучения) замещает оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные свойства.

Хорошо построенная модель доступнее для исследования – нежели реальный объект. Например, недопустимы эксперименты с экономикой страны в познавательных целях, здесь без модели не обойтись.

Резюмируя сказанное можно ответить на вопрос: для чего нужны модели? Для того, чтобы

понять, как устроен объект (его структура, свойства, законы развития, взаимодействия с окружающим миром).
научиться управлять объектом (процессом) и определять наилучшие стратегии
прогнозировать последствия воздействия на объект.

Что положительного в любой модели? Она позволяет получить новые знания об объекте, но, к сожалению, в той или иной степени не полна.

Модель сформулированная на языке математики с использованием математических методов называется математической моделью.

Исходным пунктом ее построения обычно является некоторая задача, например экономическая. Широко распространены, как дескриптивные, так и оптимизационные математические, характеризующие различные экономические процессы и явления, например:

распределение ресурсов
рациональный раскрой
транспортные перевозки
укрупнение предприятий
сетевое планирование.

Каким образом происходит построение математической модели?

Во–первых , формулируется цель и предмет исследования.
Во–вторых , выделяются наиболее важные характеристики, соответствующие данной цели.
В–третьих, словесно описываются взаимосвязи между элементами модели.
Далее взаимосвязь формализуется.
И производится расчет по математической модели и анализ полученного решения.

Используя данный алгоритм можно решить любую оптимизационную задачу, в том числе и многокритериальную, т.е. ту в которой преследуется не одна, а несколько целей, в том числе противоречивых.

Приведем пример. Теория массового обслуживания – проблема образования очередей. Нужно уравновесить два фактора – затраты на содержание обслуживающих устройств и затраты на пребывание в очереди. Построив формальное описание модели производят расчеты, используя аналитические и вычислительные методы. Если модель хороша, то ответы найденные с ее помощью адекватны моделирующей системе, если плоха, то подлежит улучшению и замене. Критерием адекватности служит практика.

Оптимизационные модели, в том числе многокритериальные, имеют общее свойство– из вестна цель(или несколько целей) для достижения которой часто приходится иметь дело со сложными системами, где речь идет не столько о решении оптимизационных задач, сколько об исследовании и прогнозировании состояний в зависимости от избираемых стратегий управления. И здесь мы сталкиваемся с трудностями реализации прежнего плана. Они состоят в следующем:

сложная система содержит много связей между элементами
реальная система подвергается влиянию случайных факторов, учет их аналитическим путем невозможен
возможность сопоставления оригинала с моделью существует лишь в начале и после применения математического аппарата, т.к. промежуточные результаты могут не иметь аналогов в реальной системе.

В связи с перечисленными трудностями, возникающими при изучении сложных систем, практика потребовала более гибкий метод, и он появился – имитационное моделирование "Simujation modeling ".

Обычно под имитационной моделью понимается комплекс программ для ЭВМ, описывающий функционирование отдельных блоков систем и правил взаимодействия между ними. Использование случайных величин делает необходимым многократное проведение экспериментов с имитационной системой (на ЭВМ) и последующий статистический анализ полученных результатов. Весьма распространенным примером использования имитационных моделей является решение задачи массового обслуживания методом МОНТЕ–КАРЛО.

Таким образом, работа с имитационной системой представляет собой эксперимент, осуществляемый на ЭВМ. В чем же заключаются преимущества?

–Большая близость к реальной системе, чем у математических моделей;

–Блочный принцип дает возможность верифицировать каждый блок до его включения в общую систему;

–Использование зависимостей более сложного характера, не описываемых простыми математическими соотношениями.

Перечисленные достоинства определяют недостатки

–построить имитационную модель дольше, труднее и дороже;

–для работы с имитационной системой необходимо наличие подходящей по классу ЭВМ;

–взаимодействие пользователя и имитационной модели (интерфейс) должно быть не слишком сложным, удобным и хорошо известным;

–построение имитационной модели требует более глубокого изучения реального процесса, нежели математическое моделирование.

Встает вопрос: может ли имитационное моделирование заменить методы оптимизации? Нет, но удобно дополняет их. Имитационная модель – это программа, реализующая некоторый алгоритм, для оптимизации управления которым прежде решается оптимизационная задача.

Итак, ни ЭВМ, ни математическая модель, ни алгоритм для ее исследования порознь не могут решить достаточно сложную задачу. Но вместе они представляют ту силу, которая позволяет познавать окружающий мир, управлять им в интересах человека.

1.2 Классификация моделей

1.2.1
Классификация с учетом фактора времени и области использования (Макарова Н.А.)

Статическая модель - это как бы одномоментный срез информации по объекту (результат одного обследования)
Динамическая модель-позволяет увидеть изменения объекта во времени(Карточка в поликлинике)
Можно классифицировать модели и по тому, к какой области знаний они принадлежат (биологические,исторические , экологические и т.п.)
Возврат в начало

1.2.2 Классификация по области использования (Макарова Н.А.)

Учебные- наглядные пособия, тренажеры,о бучающие программы
Опытные модели-уменьшенные копии (автомобиль в аэродинамической трубе)
Научно-технические- синхрофазотрон , стенд для проверки электронной аппаратуры
Игровые- экономические , спортивные, деловые игры
Имитационные- не просто отражают реальность, но имитируют ее(на мышах испытываеется лекарство, в школах проводятся эксперементы и т.п. .Такой метод моделирования называется методом проб и ошибок
Возврат в начало

1.2.3 Классификация по способу представления Макарова Н.А.)

Материальные модели-иначе можно назвать предметными. Они воспринимают геометрические и физические свойства оригинала и всегда имеют реальное воплощение
Информационные модели-нельзя потрогать или увидеть. Они строятся только на информации.И нформационная модель совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром.
Вербальная модель - информационная модель в мысленной или разговорной форме.
Знаковая модель-информационная модель выраженная знаками,т .е . средствами любого формального языка.
Компьютерная модель -м одель, реализованная средствами программной среды.

1.2.4 Классификация моделей, приведенная в книге "Земля Информатика" (Гейн А.Г.))

"...вот нехитрая на первый взгляд задача: сколько потребуется времени, чтобы пересечь пустыню Каракумы? Ответ,разумеется зависит от способа передвижения. Если путешествоватьна верблюдах , то потребуется один срок, другой-если ехать на автомобиле, третий - если лететь самолетом. А самое главное - для планирования путешествия требуются разные модели. Для первого случая требуемую модель можно найти в мемуарах знаменитых исследователей пустынь: ведь здесь не обойтись без информации об оазисах и верблюжьих тропах. Во втором случае незаменимая информация, содержащаяся в атласе автомобильных дорог. В третьем - можно воспользоваться расписанием самолетных рейсов.
Отличаются эти три модели - мемуары, атлас и расписание и характером предьявления информации. В первом случае модель представлена словесным описанием информации (описательная модель) , во втором- как бы фотографией с натуры (натурная модель) , в третьем - таблицей содержащей условные обозначения: время вылета и прилета, день недели, цена билета (так называемая знаковая модель) Впрочем это деление весьма условно- в мемуарах могут встретиться карты и схемы (элементы натурной модели), на картах имеются условные обозначения (элементы знаковой модели), в расписании приводится расшифровка условных обозначений (элементы описательной модели). Так что эта классификация моделей... на наш взгля малопродуктивна"
На мой взгляд этот фрагмент демонстрирует общий для всех книг Гейна описательный (замечательный язык и стиль изложения) и как бы, сократовский стиль обучения (Все считают что это вот так. Я совершенно согласен с вами, но если приглядеться, то...). В таких книгах достаточно сложно найти четкую систему определений (она и не предполагается автором). В учебнике под редакцией Н.А. Макаровой демонстрируется другой подход - определения понятий четко выделены и несколько статичны.

1.2.5 Классификация моделей приведенная в пособии А.И.Бочкина

Способов классификации необычно много.П риведем лишь некоторые, наиболее известные основания и признаки:дискретность и непрерывность,матричные и скалярные модели, статические и динамические модели, аналитические и информационные модели, предметные и образно-знаковые модели, масштабные и немасштабные...
Каждый признак даетопределенное знание о свойствах и модели, и моделируемой реальности. Признак может служить подсказкой о способе выполненного или предстоящего моделирования.
Дискретность и непрерывностьДискретность - характерный признак именно компьютерных моделей.В едь компьютер может находиться в конечном, хотя и очень большом количестве состояний. Поэтому даже если объект непрерывен (время), в модели он будет изменяться скачками. Можно считать непрерывность признаком моделей некомпьютерного типа.
Случайность и детерминированность . Неопределенность, случайность изначально противостоит компьютерному миру: Запущенный вновь алгоритм должен повториться и дать те же результаты. Но для имитации случайных процессов используют датчики псевдослучайных чисел. Введение случайности в детерминированные задачи приводит к мощным и интересным моделям (Вычисление площади методом случайных бросаний).
Матричность - скалярность . Наличие параметров у матричной модели говорит о ее большей сложности и, возможно, точности по сравнению со скалярной . Например, если не выделить в населении страны все возрастные группы, рассматривая его изменение как целое, получим скалярную модель (например модель Мальтуса), если выделить, - матричную (половозрастную). Именно матричная модель позволила объяснить колебания рождаемости после войны.
Статичность динамичность . Эти свойства модели обычно предопределяются свойствами реального объекта. Здесь нет свободы выбора. Просто статическая модель может быть шагом к динамической , либо часть переменных модели может считаться пока неизменной. Например, спутник движется вокруг Земли, на его движение влияет Луна. Если считать Луну неподвижной за время оборота спутника, получим более простую модель.
Аналитические модели . Описание процессов аналитически , формулами и уравнениями. Но при попытке построить график удобнее иметь таблицы значений функции и аргументов.
Имитационные модели . Имитационные модели появились давно в виде масштабных копий кораблей, мостов и пр. появились давно, но в связи с компьютерами рассматриваются недавно. Зная как связаны элементы модели аналитически и логически, проще не решать систему неких соотношений и уравнений, а отобразить реальную систему в память компьютера, с учетом связей между элементами памяти.
Информационные модели . Информационные модели принято противополагать математическим , точнее алгоритмическим. Здесь важно соотношение объемов данные/алгоритмы. Если данных больше или они важнее имеем информационную модель, иначе - математичеескую .
Предметные модели . Это прежде всего детская модель - игрушка.
Образно-знаковые модели . Это прежде всего модель в уме человека: образная , если преобладают графические образы, и знаковая , если больше слов или (и) чисел. Образно-знаковые модели строятся на компьютере.
Масштабные модели . К масштабным моделям те из предметных или образных моделей, которые повторяют форму объекта (карта).

В зависимости от того, какими средствами, при каких условиях и по отношению к каким объектам познания реализуется способность моделей отображать действительность, возникает их большое разнообразие, а вместе с ним - классификации. Путем обобщения существующих классификаций выделим базовые модели по применяемому математическому аппарату, на основе которых получают развитие специальные модели (рисунок 8.1).

Рисунок 8.1 - Формальная классификация моделей

Математические модели отображают изучаемые объекты (процессы, системы) в виде явных функциональных соотношений: алгебраических равенств и неравенств, интегральных и дифференциальных, конечно-разностных и других математических выражений (закон распределения случайной величины, регрессионные модели и т.д.), а также отношений математической логики.

В зависимости от двух фундаментальных признаков построения математической модели - вида описания причинно-следственных связей и изменений их во времени - различают детерминистические и стохастические, статические и динамические модели (рисунок 8.2).

Цель схемы, представленной на рисунке, - отобразить следующие особенности:

1) математические модели могут быть и детерминистическими, и стохастическими;

2) детерминистические и стохастические модели могут быть и статическими, и динамическими.

Математическая модель называется детерминистической (детерминированной) , если все ее параметры и переменные являются однозначно определяемыми величинами, а также выполняется условие полной определенности ин формации. В противном случае, в условиях неопределенности информации, когда параметры и переменные модели - случайные величины, модель называется стохастической (вероятностной) .

Рисунок 8.2 – Классы математических моделей

Модель называется динамической , если как минимум одна переменная изменяется по периодам времени, и статической , если принимается гипотеза, что переменные не изменяются по периодам времени.

В простейшем случае балансовые модели выступают в виде уравнения баланса, где в левой части располагается сумма каких-либо поступлений, а в правой - расходная часть также в виде суммы. Например, в таком виде представляется годовой бюджет организации.

На основе статистических данных могут строиться не только балансовые, но и корреляционно-регрессионные модели.

Если функция Y зависит не только от переменных х 1 , х 2 , … х n , но и от других факторов, связь между Y и х 1 , х 2 , … х n является неточной или корреляционной в отличие от точной или функциональной связи. Корреляционными, например, в большинстве случаев являются связи, наблюдающиеся между выходными параметрами ОПС и факторами ее внутренней и внешней среды (см. тему 5).

Корреляционно-регрессионные модели получают при исследовании влияния целого комплекса факторов на величину того или иного признака путем применения статистического аппарата. При этом ставится задача не только установить корреляционную связь, но и выразить эту связь аналитически, то есть подобрать уравнения, описывающие данную корреляционную зависимость (уравнение регрессии).

Для нахождения численного значения параметров уравнения регрессии пользуются методом наименьших квадратов. Суть этого метода состоит в том, чтобы выбрать такую линию, при которой сумма квадратов отклонений от нее ординат Y отдельных точек была бы наименьшей.

Корреляционно-регрессионные модели часто используются при исследовании явлений, когда возникает необходимость установить зависимость между соответствующими характеристиками в двух и более рядах. При этом преимущественно используется парная и множественная линейная регрессия вида

y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b .

В результате применения метода наименьших квадратов устанавливаются значения параметров a или a 1 , a 2 , …, a n и b, а затем выполняются оценки точности аппроксимации и значимости полученного уравнения регрессии.

В особую группу выделяют графоаналитические модели . Они используют различные графические изображения и поэтому обладают хорошей наглядностью.

Теория графов - одна из теорий дискретной математики, изучает графы, под которыми понимается совокупность точек и линий их соединяющих. Граф - это самостоятельный математический объект (впервые ввел Кёниг Д.). На основе теории графов наиболее часто строят древовидные и сетевые модели.

Древовидная модель (дерево) - это неориентированный связный граф, не содержащий петель и циклов. Примером такой модели является дерево целей.

Сетевые модели нашли широкое применение в управлении производством работ. Сетевые модели (графики) отражают последовательность выполнения работ и продолжительность каждой работы (рисунок 8.3).

Рисунок 8.3 - Сетевая модель производства работ

Каждая линия сетевого графика - это некоторая работа. Цифра рядом с ней означает продолжительность ее выполнения.

Сетевые модели позволяют найти так называемый критический путь и оптимизировать график производства работ по времени при ограничениях на другие ресурсы.

Сетевые модели могут быть детерминированными и стохастическими. В последнем случае продолжительности выполнения работ задаются законами распределения случайных величин.

Оптимизационные модели служат для определения оптимальной траектории достижения системой поставленной цели при наложении некоторых ограничений на управление ее поведениям и движением. В этом случае оптимизационные модели описывают различного рода задачи нахождения экстремума некоторой целевой функции (критерия оптимизации).

Для выявления оптимального способа достижения цели управления в условиях ограниченных ресурсов – технических, материальных, трудовых и финансовых – применяют методы исследования операций. К ним относятся методы математического программирования (линейное и нелинейное, целочисленное, динамическое и стохастическое программирование), аналитические и вероятностно-статистические методы, сетевые методы, методы теории массового обслуживания, теории игр (теории конфликтных ситуаций) и др.

Оптимизационные модели применяются для объемного и календарного планирования, управления запасами, распределения ресурсов и работ, замены, параметризации и стандартизации оборудования, распределения потоков товарных поставок на транспортной сети и других задач управления.

Одним из основных достижений теории исследования операций считается типизация моделей управления и методов решения задач. Например, для решения транспортной задачи, в зависимости от ее размерности, разработаны типовые методы - метод Фогеля, метод потенциалов, симплекс-метод. Также при решении задачи управления запасами, в зависимости от ее постановки, могут использоваться аналитические и вероятностно-статистические методы, методы динамического и стохастического программирования.

В управлении особое значение придается сетевым методам планирования. Эти методы позволили найти новый и весьма удобный язык для описания, моделирования и анализа сложных многоэтапных работ и проектов. В исследовании операций значительное место отводится совершенствованию управления сложными системами с применением методов теории массового обслуживания (см. раздел8.3) и аппарата марковских процессов.

Модели марковских случайных процессов - система дифференциальных уравнений, описывающих функционирование системы или ее процессов в виде множества упорядоченных состояний на некоторой траектории поведения системы. Этот класс моделей широко используется при математическом моделировании функционирования сложных систем.

Модели теории игр служат для выбора оптимальной стратегии в условиях ограниченной случайной информации или полной неопределенности.

Игра - математическая модель реальной конфликтной ситуации, разрешение которой ведется по определенным правилам, алгоритмам, описывающим некоторую стратегию поведения лица, принимающего решение в условиях неопределенности.

Различают «игры с природой» и «игры с противником». Исходя из ситуации определяются методы и критерии оценки принятия решений. Так, при «играх с природой» применяют критерии: Лапласа, максиминный (критерий Вальда) и минимаксный, Гурвица и Сэвиджа и ряд других алгоритмических правил. При «играх с противником» для принятия решений используются платежные матрицы, максиминный и минимаксный критерии, а также специальные математические преобразования в связи с тем, что лицу, принимающему решение, противостоит недоброжелательный противник.

Рассмотренные типы математических моделей не охватывают всего их возможного многообразия, а лишь характеризуют отдельные виды в зависимости от принятого аспекта классификации. В.А.Кардашем была предпринята попытка создания системы классификации моделей по четырем аспектам детализации (рисунок 8.4).

А - модели без пространственной дифференциации параметров;

В - модели с пространственной дифференциацией параметров

Рисунок 8.4 - Классификация моделей по четырем аспектам детализации

С развитием вычислительных средств одним из распространенных методов принятия решений выступает деловая игра, представляющая собой численный эксперимент с активным участием человека. Существуют сотни деловых игр. Они применяются для изучения целого ряда проблем управления, экономики, теории организации, психологии, финансов и торговли.

Математическая модель является упрощением реальной ситуации и представляет собой абстрактный, формально описанный объект, изучение которого возможно различными математическими методами .

Рассмотрим классификацию математических моделей.

Математические модели делятся:

1. В зависимости от характера отображаемых свойств объекта:

· функциональные;

· структурные.

Функциональные математические модели предназначены для отображения информационных, физических, временных процессов, протекающих в работающем оборудовании, в ходе выполнения технологических процессов и т.д.

Таким образом, функциональные модели - отображают процессы функционирования объекта. Они имеют чаще всего форму системы уравнений.

Структурныемодели - могут иметь форму матриц, графов, списков векторов и выражать взаимное расположение элементов в пространстве. Эти модели обычно используют в случаях, когда задачи структурного синтеза удается ставить и решать, абстрагируясь от физических процессов в объекте. Они отражают структурные свойства проектируемого объекта.

Для получения статического представления моделируемого объекта может быть использована группа методов, называемых схематическими моделями - это методы анализа, включающие графическое представление работы системы. Например, технологические карты, диаграммы, многофункциональные диаграммы операций и блок-схемы.

2. По способам получения функциональных математических моделей:

· теоретические;

· формальные;

· эмпирические.

Теоретические получают на основе изучения физических закономерностей. Структура уравнений и параметры моделей имеют определенное физическое толкование.

Формальные получают на основе проявления свойств моделируемого объекта во внешней среде, т.е. рассмотрение объекта как кибернетического «черного ящика».

Теоретический подход позволяет получать модели более универсальные, справедливые для более широких диапазонов изменения внешних параметров.

Формальные - более точны в точке пространства параметров, в которой производились измерения.

Эмпирические математические модели создаются в результате проведения экспериментов (изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерения его параметров на входе и выходе) и обработки их результатов методами математической статистики.

3. В зависимости от линейности и нелинейности уравнений:

· линейные ;

· нелинейные .

4. В зависимости от множества области определения и значений переменных модели бывают:

· непрерывные

· дискретные (области определения и значений непрерывны);

· непрерывно-дискретные (область определения непрерывна, а область значений дискретна). Эти модели иногда называют квантованными;

· дискретно-непрерывные (область определения дискретна, а область значений непрерывна). Эти модели называют дискретными;

· цифровые (области определения и значений дискретны)

5. По форме связей между выходными, внутренними и внешними параметрами:

· алгоритмические;

· аналитические;

· численные.

Алгоритмическими называют модели, представленных в виде алгоритмов, описывающих последовательность однозначно интерпретируемых операций, выполняемых для получения необходимого результата.

Алгоритмические математические модели выражают связи между выходными параметрами и параметрами входными и внутренними в виде алгоритма.

Аналитическими математическими моделями называется такое формализованное описание объекта (явления, процесса), которое представляют собой явные математические выражения выходных параметров как функций от входных и внутренних параметров.

Аналитическое моделирование основано на косвенном описании моделируемого объекта с помощью набора математических формул. Язык аналитического описания содержит следующие основные группы семантических элементов: критерий (критерии), неизвестные, данные, математические операции, ограничения. Наиболее существенная характеристика аналитических моделей заключается в том, что модель не является структурно подобной объекту моделирования. Под структурным подобием здесь понимается однозначное соответствие элементов и связей модели элементам и связям моделируемого объекта. К аналитическим относятся модели, построенные на основе аппарата математического программирования, корреляционного, регрессионного анализа. Аналитическая модель всегда представляет собой конструкцию, которую можно проанализировать и решить математическими средствами. Так, если используется аппарат математического программирования, то модель состоит в основе своей из целевой функции и системы ограничений на переменные. Целевая функция, как правило, выражает ту характеристику объекта (системы), которую требуется вычислить или оптимизировать. В частности, это может быть производительность технологической системы. Переменные выражают технические характеристики объекта (системы), в том числе варьируемые, ограничения – их допустимые предельные значения.

Аналитические модели являются эффективным инструментом для решения задач оптимизации процессов, протекающих в технологических системах, а также оптимизации и вычисления характеристик самих технологических систем.

Важным моментом является размерность конкретной аналитической модели. Часто для реальных технологических систем (автоматических линий, гибких производственных систем) размерность их аналитических моделей столь велика, что получение оптимального решения оказывается весьма сложным с вычислительной точки зрения. Для повышения вычислительной эффективности в этом случае используют различные приемы. Один из них связан с разбиением задачи большой размерности на подзадачи меньшей размерности так, чтобы автономные решения подзадач в определенной последовательности давали решение основной задачи. При этом возникают проблемы организации взаимодействия подзадач, которые не всегда оказываются простыми. Другой прием предполагает уменьшение точности вычислений, за счет чего удается сократить время решения задачи.

Аналитическая модель может быть исследована следующим методами:

· аналитическим, когда стремятся получить в общем виде зависимости для искомых характеристик;

· численными, когда стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных;

· качественными, когда, имея решения в явном виде можно найти некоторые свойства решения (оценить устойчивость решения).

Однако аналитическое моделирование дает хорошие результаты в случае достаточно простых систем. В случае сложных систем требуется либо существенное упрощение первоначальной модели, чтобы изучить хотя бы общие свойства системы. Это позволяет получить ориентировочные результаты, а для определения более точных оценок использовать другие методы, например, имитационное моделирование.

Численная модель характеризуется зависимостью такого вида, которая допускает только решения, получаемые численными методами, для конкретных начальных условий и количественных параметров моделей.

6. В зависимости от того, учитывают уравнения модели инерционность процессов в объекте или не учитывают:

· динамические илиинерционные модели (записываются в виде дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений или систем уравнений);

· статические или неинерционные модели (записываютсяв виде алгебраических уравнений или систем алгебраических уравнений).

7. В зависимости от наличия или отсутствия неопределенностей и вида неопределенностей модели бывают:

· детерминированны е (неопределенности отсутствуют);

· стохастические (присутствуют неопределенности в виде случайных величин или процессов, описываемых статистическими методами в виде законов или функционалов распределений, а также числовыми характеристиками);

· нечеткие (для описания неопределенностей используется аппарат теории нечетких множеств) ;

· комбинированные (присутствуют неопределенности обоих видов).

В общем случае вид математической модели зависит не только от природы реального объекта, но и от тех задач, ради решения которых она создается, и требуемой точности их решения

Основные виды моделей представленные на рисунке 2.5.

Рассмотрим еще одну классификацию математических моделей. Эта классификация основана на понятии управляемости объекта управления.Все ММ разобьем условно на четыре группы. 1.Модели прогноза (расчетные модели без управления). Их можно разделить на статические и динамические .Основное назначение этих моделей: зная начальное состояние и информацию о поведение на границе, дать прогноз о поведении системы во времени и в пространстве. Такие модели могут быть и стохастическими.Как правило, модели прогнозирования описываются алгебраическими, трансцендентными, дифференциальными, интегральными, интегро-дифференциальными уравнениями и неравенствами. Примерами могут служить модели распределения тепла, электрического поля, химической кинетики, гидродинамики, аэродинамики и т.д. 2.Оптимизационные модели. Эти модели так же можно разделить на статические и динамические. Статические модели используются на уровне проектирования различных технологических систем. Динамические – как на уровне проектирования, так и, главным образом, для оптимального управления различными процессами – технологическими, экономическими и др.В задачах оптимизации имеется два направления. К первому относятся детерминированные задачи . Вся входная информация в них является полностью определяемой.Второе направление относится к стохастическим процессам . В этих задачах некоторые параметры носят случайный характер или содержат элемент неопределенности. Многие задачи оптимизации автоматических устройств, например, содержат параметры в виде случайных помех с некоторыми вероятностными характеристиками.Методы отыскания экстремума функции многих переменных с различными ограничениями часто называются методами математического программирования. Задачи математического программирования – одни из важных оптимизационных задач.В математическом программировании выделяются следующие основные разделы. · Линейное программирование . Целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств. · Нелинейное программирование . Целевая функция нелинейная и нелинейные ограничения. · Выпуклое программирование . Целевая функция выпуклая и выпуклое множество, на котором решается экстремальная задача. · Квадратичное программирование . Целевая функция квадратичная, а ограничения – линейные. · Многоэкстремальные задачи. Задачи, в которых целевая функция имеет несколько локальных экстремумов. Такие задачи представляются весьма проблемными. · Целочисленное программирование. В подобных задачах на переменные накладываются условия целочисленности.

Рис. 4.8. Классификация математических моделей

Как правило, к задачам математического программирования неприменимы методы классического анализа для отыскания экстремума функции нескольких переменных.Модели теории оптимального управления – одни из важных в оптимизационных моделях. Математическая теория оптимального управления относится к одной из теорий, имеющих важные практические применения, в основном, для оптимального управления процессами. Различают три вида математических моделей теории оптимального управления. · Дискретные модели оптимального управления. Традиционно такие модели называют моделями динамического программирования, так как основной метод решения таких задач метод динамического программирования Беллмана. · Непрерывные модели оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами (описываются уравнениями в обыкновенных производных). · Непрерывные модели оптимального управления системами с распределенными параметрами (описываются уравнениями в частных производных). 3. Кибернетические модели (игровые). Кибернетические модели используются для анализа конфликтных ситуаций. Предполагается, что динамический процесс определяется несколькими субъектами, в распоряжении которых имеется несколько управляющих параметров. С кибернетической системой ассоциируется целая группа субъектов со своими собственными интересами. 4. Имитационное моделирование . Вышеописанные типы моделей не охватывают большого числа различных ситуаций, таких, которые могут быть полностью формализованы. Для изучения таких процессов необходимо включение в математическую модель функционирующего «биологического» звена – человека. В таких ситуациях используется имитационное моделирование, а также методы экспертиз и информационных процедур.