Наивная теория множеств георга кантора. Георг Кантор: теория множеств, биография и семья математика Биография и основные труды кантора

Родился 3 марта 1845 в Санкт-Петербурге и рос там до 11-летнего возраста. Отец семейства был членом Петербургской фондовой биржи. Когда он заболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 году переехала в Германию: сначала в Висбаден, а потом во Франкфурт. В 1860 году Георг закончил с отличием реальное училище в Дармштадте; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии. Продолжил он образование в Федеральном политехнический институте в Цюрихе. Спустя год, после смерти отца, Георг получил наследство и перевёлся в Берлинский университет. Там он посещает посещает лекции Кронекера, Вейерштрасса, Куммера. Лето 1866 года Кантор провёл в университете Гёттингена, важном центре математической мысли. В 1967 году в Берлине получил степень доктора за работу по теории чисел «De aequationibus secundi gradus indeterminatis».

После непродолжительной работы преподавателем в Берлинской школе для девочек, Кантор занимает место в Галльском университете Мартина Лютера, где и пройдёт вся его карьера. В 1872 году он становится адъюнкт-профессором, тогда же, во время отпуска, завязывает дружбу с Рихардом Дедекиндом. В 34 года Кантор становится профессором математики. В 1879-84 он систематически излагает своё учение о бесконечности; «ввёл понятия предельной точки, производного множества, построил пример совершенного множества, развил одну из теорий иррациональных чисел, сформулировал одну из аксиом непрерывности» . Несмотря на такую успешную карьеру, мечтает о должности в более престижном университете, например, Берлинском. Однако, мечтам не удаётся воплотиться в жизнь: многие современники, в том числе Кронекер, который рассматривается сейчас как один из основателей конструктивной математики, с неприязнью относятся к канторовской теории множеств, поскольку та утверждает существование множеств, удовлетворяющих неким свойствам, -- без предоставления конкретных примеров множеств, элементы которых бы действительно удовлетворяли этим свойствам.

В 1984 году Кантор испытал приступ глубокой депрессии и на время отходит от математики, смещая свои интересы в сторону философии. Затем возвращается к работе. В 1897 году он прекращает научное творчество. Умер Кантор в Галле 6 января 1918.

Одна из актуальных проблем XIX века была проблема бесконечного деления отрезков и существование точки, принадлежавшей всем таким стягивающимся отрезкам. Эта задача требовала понятия действительного числа.

Построение Кантором теории действительного числа было опубликовано 1872 году, почти одновременно с теорией Вейерштрасса и Дедекинда. В своем построении Кантор исходит из наличия рациональных чисел. Затем он вводит фундаментальные последовательности Коши и приписывает им формальный предел. Далее, он рассматривает разбивает все последовательности на классы эквивалентности. К одному и тому же классу последовательности относятся тогда и только тогда, когда их разность стремится к нуль, то есть. Далее, формальные пределы равны друг другу, если они имеют две такие фундаментальные последовательности, которые эквивалентны друг другу или. Отношение порядка определяется следующим образом.

Таким образом, классы эквивалентности описывают некоторые вещественные числа. Назовем их вещественными числами первого порядка. Если мы попробуем образовать вещественное число большего порядка, составляя фундаментальные последовательности Коши, то получим опять множество вещественных чисел первого порядка. Иными словами, множество вещественных чисел замкнуто.

Кантор обращает внимание тот факт, что в определении вещественного числа лежит актуально бесконечное множество рациональных чисел: «...к определению какого-нибудь иррационального числа всегда принадлежит некоторое строго определенное множество первой мощность рациональных чисел».

Заметим, что построение Кантора можно обобщить на другие объекты, что была сделано Кантором и его последователями, «разработка теорий действительного числа была достаточно существенной предпосылкой создания теории множеств». Например, на основе своего построения вещественного числа Кантор впоследствии свою теорию трансфинитных чисел.

Кроме того, Кантор ввел понятие мощности множеств и доказал неэквивалентность иррациональных и рациональных чисел.

КА́НТОР Георг (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ; 1845, Петербург, - 1918, Галле, Германия), немецкий математик и мыслитель.

С 1856 г. жил в Германии . Окончил гимназию в Берлине , изучал математику в университетах Цюриха, Геттингена и Берлина. В 1867–1913 гг. работал в университете в Галле: ассистент, с 1872 г. - экстраординарный, а с 1879 г. - ординарный профессор. Научная деятельность Кантора прервалась в 1897 г. из-за тяжелой болезни.

Кантор - создатель теории множеств и теории трансфинитных чисел. В 1874 г. он установил существование неэквивалентных, то есть имеющих разные мощности бесконечных множеств, в 1878 г. ввел общее понятие мощности множеств (в предложенном им и принятом в математике обозначении мощностей множеств буквами еврейского алфавита , возможно, сказалось его еврейское - по отцу - происхождение). В главном труде «О бесконечных линейных точечных образованиях» (1879–84) Кантор систематически изложил учение о множествах и завершил его построением примера совершенного множества (так называемое множество Кантора).

В начале 20 в. на основе теории множеств была построена вся математика и возник ряд новых научных дисциплин - топология, абстрактная алгебра, теория функций действительного переменного, функциональный анализ и другие.

Теория множеств открыла новую страницу также в исследованиях оснований математики - работы Кантора позволили впервые отчетливо сформулировать современные общие представления о предмете математики, строении математических теорий, роли аксиоматики и понятии изоморфизма систем объектов, заданных вместе со связывающими их отношениями. Важный толчок исследованиям логических оснований математики дали обнаруженные в теории множеств парадоксы, в частности, открытая Кантором проблема мощности множества всех множеств (которое неизбежно оказалось бы больше самого себя). Кантор развил также теорию действительных чисел, которая (наряду с теориями К. Вейерштрасса и Р. Дедекинда) кладется в основание построения математического анализа.

В философии математики Кантор анализировал проблему бесконечности. Различая два вида математического бесконечного - несобственное (потенциальное) и собственное (актуальное, понимаемое как завершенное целое), - Кантор, в отличие от предшественников, настаивал на законности оперирования в математике понятием актуально бесконечного. Сторонник платонизма, Кантор в математическом актуально бесконечном видел одну из форм актуально бесконечного вообще, обретающего высочайшую завершенность в абсолютном Божественном бытии.

В проблеме существования в математике Кантор различал интрасубъективную, или имманентную (то есть внутреннюю логическую непротиворечивость), и транссубъективную, или транзистентную (то есть соответствие процессам внешнего мира), реальность математических объектов. В противовес Л. Кронекеру , отвергавшему все не связанные с построением или вычислением способы введения новых математических объектов, Кантор допускал конструирование любых логически непротиворечивых абстрактных математических систем. Плодотворность этого подхода была подтверждена развитием математики в 20 в.

Признание пришло к Кантору лишь к концу творческого периода его жизни. В 1890 г. он был избран первым президентом Математического общества Германии.

В русском переводе ряд статей Кантора вошли в сборник «Новые идеи в математике», №6, СПб., 1914.

Георг Кантор (фото приведено далее в статье) - немецкий математик, который создал теорию множеств и ввел понятие трансфинитных чисел, бесконечно больших, но отличающихся друг от друга. Также он дал определение порядковым и кардинальным числам и создал их арифметику.

Георг Кантор: краткая биография

Родился в Санкт-Петербурге 03.03.1845. Его отцом был датчанин протестантского вероисповедания Георг-Вальдемар Кантор, занимавшийся торговлей, в т. ч. и на фондовой бирже. Его мать Мария Бем была католичкой и происходила из семьи выдающихся музыкантов. Когда в 1856 году отец Георга заболел, семья в поисках более мягкого климата переехала сперва в Висбаден, а затем во Франкфурт. Математические таланты у мальчика проявились еще до его 15-летия во время учебы в частных школах и гимназиях Дармштадта и Висбадена. В конце концов Георг Кантор убедил отца в своем твердом намерении стать математиком, а не инженером.

После недолгого обучения в Цюрихском университете в 1863 г. Кантор перевелся в Берлинский университет, чтобы изучать физику, философию и математику. Там ему преподавали:

• Карл Теодор Вейерштрасс, чья специализация на анализе, вероятно, оказала наибольшее влияние на Георга;
• Эрнст Эдуард Куммер, преподававший высшую арифметику;
• Леопольд Кронекер, специалист по теории чисел, который впоследствии выступал против Кантора.

Проведя один семестр в университете Геттингена в 1866 г., в следующем году Георг написал докторскую диссертацию под заголовком «В математике искусство задавать вопросы более ценное, чем решение задач», касающуюся проблемы, которую Карл Фридрих Гаусс оставил нерешенной в его Disquisitiones Arithmeticae (1801). После краткого преподавания в Берлинской школе для девочек Кантор начал работать в университете Галле, в котором оставался до конца своей жизни сначала как преподаватель, с 1872 года как доцент и с 1879-го в качестве профессора.

Исследования

В начале серии из 10 работ с 1869 по 1873 г. Георг Кантор рассмотрел теорию чисел. Работа отражала увлеченность предметом, его исследования Гаусса и влияние Кронекера. По предложению Генриха Эдуарда Гейне, коллеги Кантора в Галле, который признавал его математическое дарование, он обратился к теории тригонометрических рядов, в которых расширил понятие действительных чисел.

Отталкиваясь от работы по функции комплексной переменной немецкого математика Бернхарда Римана 1854 года, в 1870 г. Кантор показал, что такая функция может быть представлена только одним способом - тригонометрическими рядами. Рассмотрение совокупности чисел (точек), которые бы не противоречили такому представлению, привело его, во-первых, в 1872 году к определению в терминах рациональных чисел (дробей целых чисел) и далее к началу работы над трудом всей его жизни, теорией множеств и концепцией трансфинитных чисел.

Теория множеств

Георг Кантор, теория множеств которого зародилась в переписке с математиком технического института Брауншвейга Ричардом Дедекиндом, дружил с ним с детства. Они пришли к выводу, что множества, конечные или бесконечные, являются совокупностью элементов (например, чисел, {0, ±1, ±2 . . .}), которые обладают определенным свойством, сохраняя при этом свою индивидуальность. Но когда Георг Кантор применил для изучения их характеристик взаимно однозначное соответствие (например, {А, B, C} к {1, 2, 3}), он быстро понял, что они отличаются по степени их принадлежности, даже если это были бесконечные множества, т. е. множества, часть или подмножество которых включает столько же объектов, сколько оно само. Его метод вскоре дал удивительные результаты.

В 1873 году Георг Кантор (математик) показал, что рациональные числа, хотя и бесконечны, являются счетными, потому что могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с натуральными (т. е. 1, 2, 3 и т. д.). Он показал, что множество действительных чисел, состоящее из иррациональных и рациональных, бесконечное и несчетное. Что более парадоксально, Кантор доказал, что множество всех алгебраических чисел содержит столько же элементов, сколько множество всех целых, и что трансцендентные числа, не являющиеся алгебраическими, которые представляют собой подмножество иррациональных чисел, несчетные и, следовательно, их количество больше, чем целых чисел, и должно рассматриваться как инфинитное.

Противники и сторонники

Но работа Кантора, в которой он впервые выдвинул эти результаты, не была опубликована в журнале «Крелль», так как один из рецензентов, Кронекер, был категорически против. Но после вмешательства Дедекинда она была опубликована в 1874 году под названием «О характерных свойствах всех действительных алгебраических чисел».

Наука и личная жизнь

В этом же году во время проведения медового месяца со своей женой Валли Гутман в Кантор встретил Дедекинда, который благожелательно отозвался о его новой теории. Жалование Георга было небольшим, но на деньги отца, который умер в 1863 г., он построил для своей жены и пятерых детей дом. Многие из его работ были опубликованы в Швеции в новом журнале Acta Mathematica, редактором и основателем которого был Геста Миттаг-Леффлер, в числе первых признавший талант немецкого математика.

Связь с метафизикой

Теория Кантора стала совершенно новым предметом исследований, касающимся математики бесконечного (например, ряда 1, 2, 3 и т. д., и более сложных множеств), который в значительной степени зависел от взаимно однозначного соответствия. Разработка Кантором новых методов постановки вопросов, касающихся непрерывности и бесконечности, придала его исследованиям неоднозначный характер.

Когда он утверждал, что бесконечные числа реально существуют, он обратился к древней и средневековой философии в отношении актуальной и потенциальной бесконечности, а также к раннему религиозному воспитанию, которое дали ему родители. В 1883 году в своей книге «Основы общей теории множеств» Кантор объединил свою концепцию с метафизикой Платона.

Кронекер же, утверждавший, что «существуют» только целые числа («Бог создал целые числа, остальное - дело рук человека»), в течение многих лет горячо отвергал его рассуждения и препятствовал его назначению в Берлинском университете.

Трансфинитные числа

В 1895-97 гг. Георг Кантор полностью сформировал свое представление о непрерывности и бесконечности, включая бесконечные порядковые и кардинальные числа, в его самой известной работе, опубликованной под названием «Вклад в создание теории трансфинитных чисел» (1915). Это сочинение содержит его концепцию, к которой его привела демонстрация того, что бесконечное множество может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с одним из его подмножеств.

Под наименьшим трансфинитным кардинальным числом он подразумевал мощность любого множества, которое можно поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами. Кантор назвал его алеф-нулем. Большие трансфинитные множества обозначаются и т. д. Далее он развил арифметику трансфинитных чисел, которая была аналогична конечной арифметике. Таким образом, он обогатил понятие бесконечности.

Оппозиция, с которой он столкнулся, и время, которое понадобилось на то, чтобы его идеи были полностью приняты, объясняются сложностями переоценки древнего вопроса о том, чем является число. Кантор показал, что множество точек на линии обладает более высокой мощностью, чем алеф-нуль. Это привело к известной проблеме гипотезы о континууме - никаких кардинальных чисел между алеф-нулем и мощностью точек на линии нет. Эта задача в первой и второй половине 20-го века вызывала большой интерес и изучалась многими математиками, в т. ч. Куртом Геделем и Полом Коэном.

Депрессия

Биография Георга Кантора с 1884 г. была омрачена начавшимся у него психическим заболеванием, но он продолжал активно работать. В 1897 г. он помог провести в Цюрихе первый международный математический конгресс. Отчасти потому, что ему оппонировал Кронекер, он часто сочувствовал молодым начинающим математикам и стремился найти способ избавить их от притеснений со стороны преподавателей, чувствующих угрозу со стороны новых идей.

Признание

На рубеже веков его работа была полностью признана в качестве основы для теории функций, анализа и топологии. Кроме того, книги Кантора Георга послужили толчком для дальнейшего развития интуитивистских и формалистических школ логических основ математики. Это существенно изменило систему преподавания и часто ассоциируется с «новой математикой».

В 1911 г. Кантор был в числе приглашенных на празднование 500-летия Сент-Эндрюсского университета в Шотландии. Он отправился туда в надежде встретиться с который в своей недавно опубликованной работе Principia Mathematica неоднократно ссылался на немецкого математика, но этого не произошло. Университет присвоил Кантору почетную степень, но из-за болезни он не смог принять награду лично.

Кантор вышел на пенсию в 1913 г., жил в бедности и во время Первой мировой войны голодал. Торжества в честь его 70-летия в 1915 г. были отменены по причине войны, но небольшая церемония состоялась у него дома. Он умер 06.01.1918 г. в Галле, в психиатрической лечебнице, где провел последние годы своей жизни.

Георг Кантор: биография. Семья

9 августа 1874 г. немецкий математик женился на Валли Гутман. У супругов родилось 4 сына и 2 дочери. Последний ребенок родился в 1886 г. в приобретенном Кантором новом доме. Содержать семью ему помогло наследство отца. На состоянии здоровья Кантора сильно отразилась смерть его младшего сына в 1899 г. - с тех пор его не покидала депрессия.

Включая бесконечные, по их «мощности » (обобщению понятия количества) через понятие взаимно-однозначного соответствия между множествами. Он классифицировал множества по их мощности, определил понятия кардинальных и порядковых чисел , арифметику кардинальных и порядковых чисел .

Георг был первенцем, старшим из шести детей. Он виртуозно играл на скрипке, унаследовав от своих родителей значительные художественные и музыкальные таланты. Отец семейства писал в 1851 году о сыне: «». Когда отец заболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 году переехала в Германию: сначала в Висбаден , а потом во Франкфурт .

В 1860 году Георг окончил с отличием реальное училище в Дармштадте ; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии . В 1862 году поступил в . Через год умер его отец; получив солидное наследство, Георг перевёлся в Берлинский университет имени Гумбольдта , где начал посещать лекции таких знаменитых учёных, как Леопольд Кронекер , Карл Вейерштрасс и Эрнст Куммер . Лето 1866 года он провёл в Гёттингенском университете - крупнейшем центре математической мысли тех времён. В 1867 году Берлинский университет присвоил ему степень доктора философии за работу по теории чисел «De aequationibus secundi gradus indeterminatis» .

После непродолжительной работы в качестве преподавателя в Берлинской школе для девочек, Кантор занял место в Галльском университете Мартина Лютера , где и прошла вся его карьера. Необходимую для преподавания хабилитацию он получил за свою диссертацию по теории чисел. В 1872 году Кантор познакомился с Рихардом Дедекиндом , ставшим его близким другом и единомышленником. Многие идеи Кантора обсуждались в переписке с Дедекиндом.

В статье 1872 года Кантор дал вариант обоснования теории вещественных чисел . В его модели вещественное число определяется как класс фундаментальных последовательностей рациональных чисел . В отличие от ранее общепринятого ньютоновского определения из «Универсальной арифметики » канторовский подход был чисто математическим, без ссылок к геометрии или иным измерительным процедурам. Другую версию, также чисто математическую, опубликовал в том же году Дедекинд (она была основана на «дедекиндовых сечениях », см.) .

В 1874 году Кантор женился на Валли Гутман (Vally Guttmann ). У них было 6 детей, последний из которых родился в 1886 году (4 дочери и двое сыновей). Несмотря на скромное академическое жалование, Кантор был в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству. Биографы отмечают, что даже в период своего медового месяца в горах Гарца , Кантор много времени проводил за математическими беседами с другом Дедекиндом. В этом же 1874 году Кантор опубликовал в «Журнале Крелле» статью, в которой ввёл понятие мощности множества и показал, что рациональных чисел столько же, сколько натуральных , а вещественных гораздо больше (по совету Вейерштрасса этот революционный вывод был в статье смягчён) .

Кантор получил звание внештатного профессора в 1872 году, а в 1879 году стал полным профессором. Получить это звание в 34 года было большим достижением, но Кантор мечтал о должности в более престижном университете, например, Берлинском - в то время ведущем университете Германии, однако его теории встречают серьёзную критику, и переход в другое место осуществить не удалось .

В 1877 году Кантор получил поразительный результат, который сообщил в письме Дедекинду: множества точек отрезка и точек квадрата имеют одну и ту же мощность (континуум), независимо от длины отрезка и ширины квадрата. Заодно он сформулировал и безуспешно пытался доказать «континуум-гипотезу ». Первая статья Кантора с изложением этих ключевых результатов появилась в 1878 году и называлась «К учению о многообразиях » (термин многообразие Кантор позже заменил на множество ). Публикация статьи не раз откладывалась по требованию возмущённого Кронекера , возглавлявшего кафедру математики Берлинского университета . Кронекер, считающийся предтечей конструктивной математики , с неприязнью относился к канторовской теории множеств, поскольку её доказательства нередко носят неконструктивный характер, без построения конкретных примеров; понятие актуальной бесконечности Кронекер считал абсурдным.

Кантор понял, что позиция Кронекера не позволит ему даже уйти из Галльского университета. Сам Кантор придерживался того же мнения, что и большинство современных нам математиков: любой непротиворечивый математический объект следует считать допустимым и существующим .

Канторовская теория множеств натолкнулась на резкую критику со стороны ряда известных математиков-современников - Анри Пуанкаре ; позднее - Германа Вейля и Лёйтзена Брауэра (см.). Они напоминали, что до Кантора все корифеи математики, от Аристотеля до Гаусса , считали актуальную бесконечность недопустимым научным понятием . Положение усугубило обнаружение в первой версии теории множеств губительных противоречий . Критика была порой очень агрессивна: так, Пуанкаре называл «канторизм» тяжёлой болезнью, поразившей математическую науку, и выражал надежду, что будущие поколения от неё излечатся ; а в публичных заявлениях и личных выпадах Кронекера в адрес Кантора мелькали иногда такие эпитеты, как «научный шарлатан», «отступник» и «развратитель молодёжи» .

Резкой критике со стороны части видных математиков противостояли всемирная известность и одобрение других. В 1904 году Лондонское королевское общество присудило Кантору свою высшую математическую награду - медаль Сильвестра . Сам Кантор верил в то, что теория трансфинитных чисел была сообщена ему свыше . Бертран Рассел оценил теорию множеств как «один из главных успехов нашей эпохи», а Давид Гильберт назвал Кантора «математическим гением» и заявил: «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного Кантором» .

В 1881 году умер коллега Кантора Эдуард Гейне , оставив после себя вакантную должность. Руководство университета приняло предложение Кантора пригласить на этот пост Рихарда Дедекинда, Генриха Вебера или Франца Мертенса (именно в таком порядке), но, к большому огорчению Кантора, все они отказались. В итоге пост занял. В 1882 году общение Кантора с Дедекиндом прекратилось - вероятно, вследствие обиды на отказ последнего от должности в Галле .

В 1883 году Кантор опубликовал ключевую в своём творчестве статью «Основы общего учения о многообразиях». В это же время он начал активную переписку с видным математиком того времени - Гёстой Миттаг-Леффлером , жившим в Швеции, и вскоре начал публиковаться в его журнале «Acta mathematica » . Однако в 1885 году Миттаг-Леффлёр встревожился относительно философского подтекста и новой терминологии в одной статье, присланной ему Кантором для печати , и попросил Кантора отозвать свою статью, пока та ещё проходила корректуру, написав, что эта статья «опередила время примерно лет на сто» . Отозвать статью Кантор согласился, но никогда больше в Acta Mathematica не публиковался и резко оборвал отношения и переписку с Миттаг-Леффлером. У Кантора начался первый период депрессии, и на протяжении более чем пяти лет Кантор ничего не публиковал, кроме нескольких статей философского плана, ограничиваясь преподавательской деятельностью .

Вскоре после восстановления (1889) Кантор сразу же сделал несколько важных дополнений к своей теории, в частности, доказал диагональным методом несчётность множества всех подмножеств натуральных чисел, однако так и не достиг того же высокого уровня продуктивности, какой у него был в 1874-1884 годах. В конце концов он обратился с предложением о мире к Кронекеру, которое тот благосклонно принял. Тем не менее, разделявшие их философские расхождения и трудности остались. Тем временем часть математиков, особенно молодые, приняли теорию множеств, стали её развивать и применять для решения разнообразных проблем. Среди них - Дедекинд, Гильберт, Феликс Бернштейн 1891 году ; в то время его репутация была весьма устойчива даже несмотря на оппозицию Кронекера, в итоге Кантор был избран первым президентом общества. Кантор пригласил Кронекера выступить с докладом, но тот не смог принять предложение по причине трагической гибели своей жены.

Периодически повторяющиеся с 1884 года и до конца дней Кантора приступы депрессии некоторое время ставили в вину его современникам, занявшим чересчур агрессивную позицию , но сейчас считается, что эти приступы, вероятнее всего, были развитием душевной болезни .

В статье 1892 года впервые появился знаменитый диагональный метод Кантора . Последней работой, своеобразным завещанием учёного стала статья «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» (в двух частях, 1895-1897). Это одна из самых известных работ Кантора, в ней, в дополнение к предыдущим результатам теории множеств, строится иерархия алефов .

В 1897 году началась интенсивная переписка Кантора с Гильбертом по поводу первого обнаруженного в теории множеств противоречия - парадокса Бурали-Форти , крайне обеспокоившего Гильберта. Кантор выразил мнение, что в теории множеств следует проводить различие между двумя типами понятий - трансфинитными и абсолютными («недоступными », как он выразился), из них только первые поддаются человеческому разуму, а в отношении вторых возможно только приближение к их постижению. Гильберта эта метафизика не убедила, по его мнению, неразрешимых математических задач нет и быть не может. Дискуссия продолжалась два года и ни к чему не привела. Решение парадоксов (не ставшее, впрочем, общепринятым) было найдено только 30 лет спустя, после замены «наивной теории множеств» Кантора на аксиоматическую , исключившую «недоступные» множества из числа легальных понятий .

В декабре 1899 года у Кантора умер 13-летний сын. Душевная болезнь Кантора обострилась, почти готовая третья часть статьи «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» так и не была завершена. До 1913 года Кантор продолжал преподавание в университете (время от времени делая длительные перерывы на лечение), затем вышел на пенсию. Его интересы после 1899 года касались в основном философии Лейбница и вопроса об авторстве шекспировских пьес , которым Кантор увлекался уже много лет.

Георг Кантор умер 6 января 1918 года от сердечного приступа в психиатрической лечебнице города Галле.

Происхождение и образование

В философии математики анализировал проблему бесконечности . Различая два вида математического бесконечного - несобственное (потенциальное) и собственное (актуальное, понимаемое как завершенное целое), - Георг Кантор настаивал на законности оперирования в математике понятием актуально бесконечного. Сторонник платонизма, он в математическом актуально бесконечном видел одну из форм актуально бесконечного вообще, обретающего высочайшую завершенность в абсолютном Божественном бытии. Некоторые христианские богословы, преимущественно представители неотомизма, увидели в трудах Кантора вызов уникальности абсолютной бесконечности природы Бога, приравняв однажды теорию трансфинитных чисел и пантеизм.

В вопросе существования в математике различал интрасубъективную (имманентную, то есть внутреннюю логическую непротиворечивость), и транссубъективную (транзистентную, то есть соответствие процессам внешнего мира), реальность математических объектов. В противовес Кронекеру, отвергавшему все не связанные с построением или вычислением способы введения новых математических объектов, Георг Кантор допускал конструирование любых логически непротиворечивых абстрактных математических систем.

Возражения философского плана идеям Кантора высказал Людвиг Витгенштейн .

Последние годы

В 1897 году научная деятельность Кантора прервалась из-за тяжёлой болезни. Периодически повторяющиеся с 1884 года и до конца его дней приступы депрессии некоторое время ставили в вину современникам Кантора, занявшим слишком агрессивную позицию, эти приступы, как считают, были проявлением биполярного расстройства и маниакально-депрессивного психоза.

Был женат на Валли Гутман, с которой имел шестеро детей, последний из которых родился в 1886 году . Несмотря на скромное академическое жалование, математик оказался в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству.

Умер 6 января 1918 года в Галле (Заале).

Его именем был ударный кратер на обратной стороне Луны.