Функция у = х2 и ее график — Гипермаркет знаний. Функции и графики График функции y х

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1) Формула параболы y=ax 2 +bx+c ,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх ,
а то ветви параболы направлены вниз .
Свободный член c эта точке пересекается параболы с осью OY;

2) , ее находят по формуле x=(-b)/2a , найденный x подставляем в уравнение параболы и находим y ;

3) Нули функции или по другому точки пересечения параболы с осью OX они еще называются корнями уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0 ax 2 +bx+c=0 ;

Виды уравнений:

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE , чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

Как начертить график функции y=x в квадрате+2x-5? и получил лучший ответ

Ответ от Алексей Попов (Океан)[гуру]
Функция квадратичеая и её график парабола. Найдём координаты вершины этой параболы Х= -2/2= -1 У = 1-2-5=-6 (надо в формулу y=x в квадрате+2x-5 вместо Х подставить "-1" и вычислить) . Отмечаем вершину параболы А (-1;-6) в системе координат. И от этой точке (от точки А) отмечаем точки найденные по формуле y=x в квадрате то есть точки (1;1) (-1;1)(2;4) (-2;4) (3;9) (-3;9) Внимание! Все эти точки откладываем от вершины параболы, от точки А (а не от точки О, начала координат)

Ответ от Ёергей Черевань [мастер]
Возьми х=0 - это будет начало графика, а потом бери 4 точки х=1, х=-1, х=2 и х=-2 и строй график, называется парабола

Ответ от Елена Федюкина [гуру]
квадратичная функция, графиг парабола, ветр вверх.Вершины пооси х = -1, по оси у = -5.

Ответ от Анна Егорова [гуру]
y=x в квадрате+2x-5 график-парабола, ветви которой направлены вверх (a=1 больше нуля) , находишь вершину параболы: m= -b деленное на 2a - это координата по оси x - будет -1; координата по y: подставляешь в свою функцию: будет -6, значит вершина параболы (-1;-6)дальше чертишь таблицу со значениями x и y, например при x=-3, y=-2;x=-2, y=-5; x=-1,y=-6; x=0, y=-5; x=1, y=-2; x=2, y=3дальше отмечай эти точки на координатной плоскости и соединяй)))

Ответ от Bibi [гуру]
у=х в кв. +2х-5, выделив квадрат двучлена, получим у=(х +1)в кв. -6 отсюда следует, что вершина (-1;-6). Графиком функции является парабола. Ветви параболы направленны вертикально вверх, т. к. перед скобкой (а) нет минуса.

Ответ от 2 ответа [гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Как начертить график функции y=x в квадрате+2x-5?

Ранее мы изучали другие функции, например линейную, напомним ее стандартный вид:

отсюда очевидное принципиальное отличие - в линейной функции х стоит в первой степени, а в той новой функции, к изучению которой мы приступаем, х стоит во второй степени.

Напомним, что графиком линейной функции является прямая линия, а графиком функции , как мы увидим, является кривая, называемая параболой.

Начнем с того, что выясним, откуда появилась формула . Объяснение таково: если нам задан квадрат со стороной а , то площадь его мы можем вычислить так:

Если мы будем менять длину стороны квадрата, то и его площадь будет изменяться.

Итак, приведена одна из причин, по которой изучается функция

Напомним, что переменная х - это независимая переменная, или аргумент, в физической интерпретации это может быть, например, время. Расстояние это наоборот зависимая переменная, оно зависит от времени. Зависимой переменной или функцией называется переменная у .

Это закон соответствия, согласно которому каждому значению х ставится в соответствие единственное значение у .

Любой закон соответствия должен удовлетворять требованию единственности от аргумента к функции. В физической интерпретации это выглядит достаточно понятно на примере зависимости расстояния от времени: в каждый момент времени мы находимся на каком-то конкретном расстоянии от начального пункта, и невозможно одновременно в момент времени t находится и в 10 и в 20 километрах от начала пути.

В то же время каждое значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.

Итак, нам нужно построить график функции , для этого составить таблицу. Потом по графику исследовать функцию и ее свойства. Но уже до построения графика по виду функции мы можем кое-что сказать о ее свойствах: очевидно, что у не может принимать отрицательных значений, так как

Итак, составим таблицу:

Рис. 1

По графику несложно отметить следующие свойства:

Ось у - это ось симметрии графика;

Вершина параболы - точка (0; 0);

Мы видим, что функция принимает только неотрицательные значения;

На промежутке, где функция убывает, а на промежутке, где функция возрастает;

Наименьшее значение функция приобретает в вершине, ;

Наибольшего значения функции не существует;

Пример 1

Условие:

Решение:

Поскольку х по условию изменяется на конкретном промежутке, можем сказать о функции, что она возрастает и изменяется на промежутке . Функция имеет на этом промежутке минимальное значение и максимальное значение

Рис. 2. График функции y = x 2 , x ∈

Пример 2

Условие: Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

Решение:

х изменяется на промежутке , значит у убывает на промежутке пока и возрастает на промежутке пока .

Итак, пределы изменения х , а пределы изменения у , а, значит, на данном промежутке существует и минимальное значение функции , и максимальное

Рис. 3. График функции y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Проиллюстрируем тот факт, что одно и то же значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.

Ранее мы изучали другие функции, например линейную, напомним ее стандартный вид:

Если мы будем менять длину стороны квадрата, то и его площадь будет изменяться.

Итак, приведена одна из причин, по которой изучается функция

В то же время каждое значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.

Итак, составим таблицу:

Рис. 1

По графику несложно отметить следующие свойства:

Ось у - это ось симметрии графика;

Вершина параболы - точка (0; 0);

Мы видим, что функция принимает только неотрицательные значения;

На промежутке, где функция убывает, а на промежутке, где функция возрастает;

Наименьшее значение функция приобретает в вершине, ;

Наибольшего значения функции не существует;

Пример 1

Условие:

Решение:

Рис. 2. График функции y = x 2 , x ∈

Пример 2

Условие: Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

Решение:

х изменяется на промежутке , значит у убывает на промежутке пока и возрастает на промежутке пока .

Рис. 3. График функции y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

1. Построение графика функции y = |f(x)|

Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|

1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.

Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

Координаты вершины параболы:

x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.

Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

3) Получаем график исходной функции (рис. 2 , изображен пунктиром).

2. Построение графика функции y = f(|x|)

Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

1) Построить график функции y = f(x).

2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3

Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1 ).

2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

(рис. 3) .

Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|

Применяем схему, данную выше.

1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4) .

3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y ≥ 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6) .

b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7) .

2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8) .

Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9) .

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11) .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

КАТЕГОРИИ